Introduccion al calculo en dos variables

1.1   Funciones en dos variables

Una función de dos variables, z = f(x, y), es el modelo
matemático que nos dice cuál es el valor de la variable Z para cada posible
valor de las variables X e Y.

1.2 Derivadas Parciales

 Sea una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas parciales:

(Una definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una variable)

  Para la derivada de z "respecto de x" consideramos a la variable "y" como si fuera una constante, mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y" consideramos a la variable "x" como si fuera constante.

1.3 Máximos y mínimos de funciones de dos variables

 1.4 Aplicaciones: Optimización de funciones de dos variables que representen gastos, ingresos o utilidad.

 * Función de costo:

Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es el costo de x artículos, y tiene la forma

Costo = Costo variable + Costo fijo

en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma

C(x) = mx + b

Se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el cost fijo es b. La pendiente m, el costo marginal, mide el costo incremental por artículo.

*Función de ingreso:

El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función linealI(x) = mx y el precio de venta m se puede también llamar ingreso marginal.

*Función de  utilidad:

La utilidad es el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad marginal. La utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la siguiente formula:

Utilidad	=	Ingreso − Costo
U	=	I − C

Si la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida (de $500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir tablas quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta forma, equilibrio ocurre cuando U = 0, o

I = C

Equilibrio

El puno equilibrio es el número de artículos x a lo cual presenta el equilibrio.