Este blogger es creado para brindar apoyo y conocimiento
acerca de las matemáticas, espero y les sea útil. Ya que también fue creado
para poder acreditar la materia de matemáticas de segundo semestre.
martes, 25 de noviembre de 2014
Introduccion al calculo en dos variables
Una función de dos variables, z = f(x, y), es el modelo
matemático que nos dice cuál es el valor de la variable Z para cada posible
valor de las variables X e Y.
1.2 Derivadas
Parciales
Sea
una función de dos variables z = f(x, y), se definen las derivadas
parciales:
(Una
definición obvia si la comparamos con la derivada de una función de una
variable)
Para la derivada de z "respecto de x"
consideramos a la variable "y" como si fuera una constante,
mientras que al hacer la derivada de z "respecto de y"
consideramos a la variable "x" como si fuera constante.
1.3
Máximos y mínimos de funciones de dos variables
1.4
Aplicaciones: Optimización de funciones de dos variables que representen gastos,
ingresos o utilidad.
*
Función de costo:
Una función
costo especifica el costo C como una función de la
cantidad de artículos x. En consecuencia, C(x) es
el costo de x artículos, y tiene la forma
Costo
= Costo variable + Costo fijo
en
la que el costo variable es una función de x y el costo fijo
es constante. Una función costo de la forma
C(x) = mx + b
Se
llama una función costo lineal; el costo variable es mx y
el cost fijo es b. La pendiente m, el costo
marginal, mide el costo incremental por artículo.
*Función de ingreso:
El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función linealI(x) = mx y el precio de venta m se puede también llamar ingreso marginal.
*Función de utilidad:
*Función de ingreso:
El ingreso que resulta de una o más transacciones comerciales es el pago total recibido, y a veces se la llama ingreso bruto. Si I(x) es el ingreso por vender x artículos al precio de m cada uno, entonces I es la función linealI(x) = mx y el precio de venta m se puede también llamar ingreso marginal.
*Función de utilidad:
La utilidad es
el ingreso neto, o lo que queda de los ingresos después de
restar los costos. Si la utilidad depende linealmente en el número de
artículos, entonces la pendiente m se llama la utilidad
marginal. La utilidad, el ingreso, y el costo son relacionados por la
siguiente formula:
Utilidad
|
=
|
Ingreso − Costo
|
U
|
=
|
I − C
|
Si
la utilidad es negativa, por ejemplo −$500, se denomina pérdida (de
$500 en este caso). El equilibrio, salir a la par o salir
tablas quiere decir no obtener utilidades ni tener pérdidas. De esta
forma, equilibrio ocurre cuando U = 0, o
I = C
|
Equilibrio
|
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.
En matemáticas y álgebra lineal,
un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema
lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto
de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de
ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas
sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema
lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los
valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que
satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
4.1.2 Sistemas de
ecuaciones lineales: consistentes, inconsistentes y su representación
paramétrica del conjunto solución.
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el
número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden
presentar los siguientes casos:
- Sistema compatible si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:
- Sistema compatible determinado cuando tiene una única solución.
- Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
- Sistema incompatible si no tiene solución.
Método de reducción.
Consiste en multiplicar ecuaciones por números y sumarlas
para reducir el número de incógnitas hasta llegar a ecuaciones con solo una
incógnita.
Método de igualación
El método de igualación consiste en lo siguiente:
Supongamos que tenemos dos ecuaciones:
Donde a,b,c, y representan simplemente los
miembros de estas ecuaciones ( son expresiones algebraicas ).
De las dos igualdades anteriores se deduce que
Si resulta que una incógnita del sistema de ecuaciones no
aparece ni en a ni en b, entonces la ecuación
no contendría dicha incógnita.
Método de sustitución.
Lo que se busca es que esta ecuación dependa de menos
incógnitas que las de partida.
4.1.4 Sistemas de
ecuaciones equivalentes.
Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen
el mismo conjunto de soluciones, aunque tengan distinto número de ecuaciones.
Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de
ecuaciones dependientes. Si:
- Todos los coeficientes son ceros.
- Dos ecuaciones son iguales.
- Una ecuación es proporcional a otra.
- Una ecuación es combinación lineal de otras.
- Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
- Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
- Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
- Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.
- Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.
En matemáticas, la eliminación de Gauss-Jordan, llamada así
debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, es un algoritmo del álgebra
lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales,
encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el
método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del
sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita
menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en
una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso
de transformación hasta obtener una matriz diagonal.
4.1.5.1 Definición
de una matriz.
Se puede definir una matriz, como un conjunto de
elementos (números) ordenados en filas y columnas.
Para designar una matriz se emplean letras
mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene
dos subíndices. El primero i indica la fila a la
que pertenece y el segundo j la columna.
Esta es una matriz de m
filas y n columnas, es decir, de dimensión m
x n. Esta matriz también se puede representar de la forma
siguiente: A = (aij) m x n.
|
Si el número de filas y de columnas es igual ( m
= n ), entonces se dice que la matriz es de orden n.
4.1.5.2 Expresión
matricial de un sistema de ecuaciones lineales.
Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas es un
sistema de la forma
La expresión matricial del sistema es
Donde:
A=
es la matriz de coeficientes del sistema.
es la matriz de coeficientes del sistema.
X=
es la matriz de incógnitas.
es la matriz de incógnitas.
B=
es la matriz de términos independientes.
es la matriz de términos independientes.
Luego un sistema lineal de ecuaciones se puede expresar matricialmente
como A·X=B
Si la matriz de coeficientes es invertible, es decir, posee inversa entonces el sistema tiene solución A·X=B => A-1·A·X=A-1·B => X=A-1·B·.
Por tanto resolver un sistema de ecuaciones a través de matrices consiste en poner el sistema en forma matricial. La solución, si la hay, será el producto de la inversa de la matriz de coeficiente (A-1) por la matriz de términos independientes (B).
es la matriz de coeficientes del sistema.
Dada una matriz A, de tamaño
, las siguientes tres operaciones se llaman operaciones elementales de renglón en la matriz A:
A, a la matriz da origen, si se parte de la matriz
4.2.1Tipos de matrices (cuadrada, rectangular, triangular, matriz, identidad, matriz, transpuesta).
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n.
Ejemplo
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.
Ejemplo
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
Ejemplo
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n ´ m.
Ejemplo
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.
Ejemplos
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.
Ejemplos
Atendiendo a los elementos
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Ejemplos
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Ejemplos
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.
Ejemplos
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Ejemplos
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 " i<j.
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 "j<i.
Ejemplos
4.2.2 Operaciones con matrices (suma, diferencia, multiplicación).
Por último, digamos que si se suma una matriz cualquiera con su opuesta, se obtiene la matriz nula.
con 
Si la matriz de coeficientes es invertible, es decir, posee inversa entonces el sistema tiene solución A·X=B => A-1·A·X=A-1·B => X=A-1·B·.
Por tanto resolver un sistema de ecuaciones a través de matrices consiste en poner el sistema en forma matricial. La solución, si la hay, será el producto de la inversa de la matriz de coeficiente (A-1) por la matriz de términos independientes (B).
es la matriz de coeficientes del sistema.
4.1.5.3 Operaciones
elementales sobre renglones.
, las siguientes tres operaciones se llaman operaciones elementales de renglón en la matriz A:- Multiplicar
o dividir un renglón por un número diferente de cero.
- Sumar
el múltiplo de un renglón a otro renglón.
- Intercambiar
dos renglones.
El proceso de aplicar las operaciones elementales de renglón
con el propósito de simplificar una matriz, se llama reducción por
renglones.
En el proceso de aplicar operaciones elementales de renglón,
se utilizará la siguiente notación:
, significa sustituir el iésimo renglón por el iésimo renglón multiplicando por C.
, significa que se sustituye el j-ésimo renglón por la suma del j-ésimo renglón más el iésimo renglón multiplicado por C. 
, significa que se intercambian los renglones i y j.
Ejemplo 8.
Si
.
.
La operación
da origen a la matriz
La operaciónda origen a la matrizA, a la matriz da origen, si se parte de la matriz
4.1.5.4 Reducción
de Gauss y Gauss- Jordan
Es esencialmente el método de reducción. En el método
de Gauss se opera con ecuaciones, como se hace en el método de
reducción, pero uno se ahorra el escribir las incógnitas porque al ir los
coeficientes de una misma incógnita siempre en una misma columna, uno sabe en
todo momento cual es la incógnita a la que multiplican.
4.1.5.5 Sistemas
homogéneos.
Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los
términos independientes nulos se dice que es homogéneo.
Sólo admite la solución trivial: x1 = x2 =... = xn = 0.
La condición necesaria y suficiente para que un sistema
homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz
de los coeficientes sea menor que el nº de incógnitas, o dicho de otra forma,
que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.
r < n
Observemos que esto se debe a que:
De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el
que r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnitas, siendo así el
sistema compatible indeterminado.
Ejemplos:
Ejemplos:
4.2 Álgebra de
Matrices.
Ahora que hay un nuevo conjunto que es el de las matrices,
se le va a dar una estructura, definiendo operaciones y propiedades de éstas.
Igualdad de matrices:
(del mismo orden) son iguales si sus elementos respectivos son iguales;
(del mismo orden) son iguales si sus elementos respectivos son iguales; 
4.2.1Tipos de matrices (cuadrada, rectangular, triangular, matriz, identidad, matriz, transpuesta).
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1´n.
Ejemplo
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m ´1.
Ejemplo
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n ´ n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
Ejemplo
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n ´ m.
Ejemplo
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.
Ejemplos
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji " i, j.
Ejemplos
Atendiendo a los elementos
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Ejemplos
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Ejemplos
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.
Ejemplos
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Ejemplos
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 " i<j.
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij =0 "j<i.
Ejemplos
4.2.2 Operaciones con matrices (suma, diferencia, multiplicación).
Suma de matrices.
Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij),
se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij).
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos
matrices que ocupan la misma misma posición.
Multiplicación de
matrices
Dos matrices A y B son multiplicables si el número de
columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn
x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene
multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la
columna j de la matriz B y sumándolos.
Diferencia de
matrices
La resta de dos matrices A y B,
es decir (A - B), es igual a la suma de A más el
opuesto de B. Por lo tanto podemos hacer: A - B = A + (- B).
En la práctica lo que se hace es cambiarle los signos a
todos los elementos de la "segunda" matriz y se suma.
Por último, digamos que si se suma una matriz cualquiera con su opuesta, se obtiene la matriz nula.
Suma y diferencia.
Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz
dimensión m x n.
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma
dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos
están cambiados de signo.
Conmutativa:
A + B = B + A
Multiplicación
Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz
dimensión m x n.
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma
dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos
están cambiados de signo.
Conmutativa:
A + B = B + A
4.2.4 Matriz
inversa.
Dada una matriz A, ¿Podremos encontrar otra matriz B tal que
A·B=B·A=I?
Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas.
Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer el producto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas.
Condición necesaria y suficiente para que una matriz sea
invertible es que no sea singular, es decir, que su determinante sea no nulo
|A| ≠ 0
Cálculo de la
matriz inversa
1. Método de Gauss-Jordan
Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) la matriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ella multiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.
La matriz inversa de A es 
2. A través de la matriz de adjuntos
Dada una matriz A, determinamos la matriz de adjuntos de su traspuesta. Si multiplicamos esa matriz por 1/|A| se obtiene la matriz inversa de A.
4.3 Determinantes
A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por determinante (A).
|A| = 
4.3.1 Definición de
un determinante.
En Matemáticas se define el determinante como
una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica
una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante
haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de
determinante o de volumen orientado fue introducido para
estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
4.3.2 Expansión por
cofactores.
4.3.3 Propiedades
de los determinantes.
Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación.
En los párrafos siguientes consideramos que A es una matriz cuadrada.
Propiedad 1.
Si una matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.
Ejemplo 1.
|
Sea 
Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene
Propiedad 2.
El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A.
|
Esto es
Ejemplo 2.
Sea 
La transpuesta de A es 
Propiedad 3.
Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el determinante cambia de signo.
|
Ejemplo 3.
Sea 
con 
con
Intercambiando los renglones 1 y 2 la matriz queda
con
Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna.
Propiedad 4.
Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A = 0.
|
Ejemplo 4.
Sea 
entonces 
entonces
Propiedad 5.
Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el determinante de A, r det A.
|
Ejemplo 5.
Sea 
cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2, 
cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar r = 3 se tiene la matriz B siguiente
cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es
Propiedad 6.
Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otro renglón de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las columnas de A.
|
Ejemplo 6.
Sea 
cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2, 
cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,
Multiplicando la segunda columna de A por el escalar 2 y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente
Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene
Propiedad 7.
Si A y B son matrices de
 , el determinante del producto AB es igual al producto de los determinantes de A y de B. |
Esto es
Ejemplo 7.
Sean 
y 
y
con 
y 
y
El producto 
Y su determinante es 
Entonces 
.
.
Propiedad 8.
El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno)
Ejemplo 8.
I = 
det I = (1)(1) – (0)(0) = 1
det I = (1)(1) – (0)(0) = 1
Propiedad 9.
El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero)
Ejemplo 9.
J = 
|J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0
|J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0
Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa.
4.3.4 Regla de
Cramer.
La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de unsistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
Si
es un sistema de ecuaciones. 
es la matriz de coeficientes del sistema, 
es el vector columna de las incógnitas y 
es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:
es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de por el vector columna . Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz ha de ser no nulo.
La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de unsistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
Si
es un sistema de ecuaciones. es la matriz de coeficientes del sistema, es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:
es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de por el vector columna . Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz ha de ser no nulo.
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